正态总体样本方差、t 分布 纯文本笔记

正态总体样本方差、t 分布 纯文本笔记一、四种样本方差定义与性质设正态总体 X~N (μ,σ²)样本 X₁,X₂…Xₙ样本均值 X̄S₁² [1/(n-1)]∑(Xᵢ-X̄)² 【无偏样本方差课本标准 S²】 期望E (S₁²)σ²无系统误差 卡方关系(n-1) S₁²/σ² ~ χ²(n-1)S₂² (1/n)∑(Xᵢ-X̄)² 【有偏样本方差】 期望E (S₂²)[(n-1)/n]σ² σ²整体偏小 卡方关系nS₂²/σ² ~ χ²(n-1)S₃² [1/(n-1)]∑(Xᵢ-μ)² 卡方关系(n-1) S₃²/σ² ~ χ²(n)S₄² (1/n)∑(Xᵢ-μ)² 卡方关系nS₄²/σ² ~ χ²(n)关键区分自由度式子用样本均值 X̄计算偏差卡方自由度 n-1有 1 个约束∑(Xᵢ-X̄)0损失 1 自由度式子用总体真值 μ 计算偏差卡方自由度 n无约束全部样本独立无偏 / 有偏只看分母是 n-1 还是 n和自由度无关二、t 分布定义若 Z~N (0,1)W~χ²(df)二者相互独立则 t Z / √(W/df) ~ t (df) 本题目标构造自由度 dfn-1 的 t 分布即 W 必须服从 χ²(n-1)三、两种标准 t 统计量推导基础标准正态变量Z(X̄-μ)/(σ/√n) ~ N (0,1)搭配无偏方差 S₁考试最常用 √[χ²(n-1)/(n-1)] √[((n-1) S₁²/σ²)/(n-1)] S₁/σ t Z / (S₁/σ) (X̄-μ) / (S₁/√n) ~ t (n-1) 结论S₁ 搭配分母 √n搭配有偏方差 S₂题目特殊形式 √[χ²(n-1)/(n-1)] √[(nS₂²/σ²)/(n-1)] S₂√n / (σ√(n-1)) t Z / [S₂√n/(σ√(n-1))] (X̄-μ) / (S₂/√(n-1)) ~ t (n-1) 结论S₂ 搭配分母 √(n-1)四、极简记忆口诀S₁分母是 n-1无偏→ t 式分母√nS₂分母是 n有偏→ t 式分母√(n-1)只要式子内是 (Xᵢ-μ) 而非 (Xᵢ-X̄)卡方自由度为 n只能构造 t (n)不是 t (n-1)通用判定分子永远是 X̄-μ分母根号里的数字由使用 S₁/S₂决定目的是凑出 t 分布标准定义式五、原题选项速判总结A(X̄-μ)/(S₁/√(n-1)) 系数不匹配不服从 t (n-1)错 B(X̄-μ)/(S₂/√(n-1)) 完全匹配 t 分布定义服从 t (n-1)对 C(X̄-μ)/(S₃/√n) S₃对应 χ²(n)服从 t (n)错 D(X̄-μ)/(S₄/√n) S₄对应 χ²(n)服从 t (n)错