【概率论】[特殊字符] 随机变量及其分布函数 · 知识点 + 例题精讲

📘 随机变量及其分布函数 · 知识点 + 例题精讲一、随机变量的定义📌 什么是随机变量？在概率论中，随机变量（Random Variable）是一个将样本空间中的每个基本事件映射到实数的函数。它把“不确定性”量化为数值，便于我们用数学工具进行分析。✅ 简单说：随机变量是“取值依赖于随机试验结果的变量”。🧩 分类：根据取值是否连续，随机变量分为：类型特点例子离散型随机变量取值为有限个或可列无限个掷骰子点数、某路口每小时车流量连续型随机变量取值充满某个区间（不可列）身高、体重、温度、时间🧩 例题1（离散型）：抛两枚硬币抛两枚均匀硬币，设随机变量 $ X $ 表示正面朝上的次数。（1）写出 $ X $ 的所有可能取值；（2）列出 $ X $ 的概率分布律；（3）判断 $ X $ 是否为随机变量？为什么？🔍 解答：（1）样本空间 Ω = {HH, HT, TH, TT}→ $ X $ 的可能取值：0, 1, 2（2）概率分布律：$ x $012$ P(X=x) $1/41/21/4（因为 HH → 2次正面，HT/TH → 1次，TT → 0次）（3）✅ 是随机变量。因为它是一个定义在样本空间上、取值为实数的函数，且每个取值都有确定的概率。🧩 例题2（连续型）：等待时间某公交站每10分钟发一班车，乘客随机到达车站，设随机变量 $ T $ 表示乘客等待时间（单位：分钟）。假设 $ T \sim U(0,10) $，即服从 [0,10] 上的均匀分布。（1）写出 $ T $ 的概率密度函数；（2）说明 $ T $ 为何是连续型随机变量。🔍 解答：（1）均匀分布 $ U(a,b) $ 的密度函数为：f(t)={ 1b−a,a≤t≤b0,其他⇒f(t)={ 110,0≤t≤100,其他 f(t) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, a \leq t \leq b \\ 0, \text{其他} \end{cases} \Rightarrow f(t) = \begin{cases} \frac{1}{10}, 0 \leq t \leq 10 \\ 0, \text{其他} \end{cases}f(t)={b−a1​,0,​a≤t≤b其他​⇒f(t)={101​,0,​0≤t≤10其他​（2）$ T $ 是连续型随机变量，因为其取值充满区间 [0,10]，不可列，且存在概率密度函数 $ f(t) $，满足 $ P(T=t)=0 $ 对任意单点成立。二、分布函数（CDF，Cumulative Distribution Function）📌 什么是分布函数？对于任意随机变量 $ X $，其分布函数定义为：F(x)=P(X≤x),x∈R F(x) = P(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R}