数字信号处理1——带通采样（欠采样）

带通采样（Bandpass Sampling），也被称为欠采样（Undersampling）或次奈奎斯特采样（Sub-Nyquist Sampling），是一种在信号处理中非常强大的技术。它打破了我们通常认知的“奈奎斯特采样定理”（fs2fmaxf_{s}2f_{max}fs​2fmax​）的限制，允许我们以远低于最高信号频率的速率来采样信号，前提是该信号是带通信号（Bandpass Signal）。一、基本原理1. 核心概念与直观理解传统奈奎斯特采样（低通采样）：通常我们认为，为了不失真地恢复信号，采样频率fsf_{s}fs​必须大于信号中最高频率分量fmaxf_{max}fmax​的两倍。这是基于假设信号是从 0 Hz 开始一直延续到fmaxf_{max}fmax​的（即基带信号）。带通采样：如果一个信号的能量集中在某个高频段[fL,fH]\left[f_{L},f_{H}\right][fL​,fH​]，而从 0 Hz 到fLf_{L}fL​之间几乎没有能量（即带宽B=fH−fLB=f_{H}-f_{L}B=fH​−fL​远小于fmaxf_{max}fmax​），我们并不需要为了“空白”的低频段去浪费采样率。原理核心：采样的本质是频谱搬移。在频域中，采样会将原始信号的频谱以fsf_{s}fs​为周期进行无限复制。带通采样的目标是：通过选择合适的fsf_{s}fs​，让高频信号的频谱“副本”恰好搬移到低频（基带）区间，且不发生混叠。2. 数学推导与公式假设我们有一个带通信号：下截止频率：fLf_{L}fL​上截止频率：fHf_{H}fH​信号带宽：B=fH−fLB=f_{H}-f_{L}B=fH​−fL​载波/中心频率：fc=fH+fL2f_{c}=\frac{f_{H}+f_{L}}{2}fc​=2fH​+fL​​目标我们要找到一个采样频率fsf_{s}fs​，使得信号经采样后的频谱副本落在第一奈奎斯特区(0,fs/2)\left(0,f_{s}/2\right)(0,fs​/2)内，且正频率部分和负频率部分不发生重叠。推导步骤频谱复制特性：采样后的信号频谱是原频谱以n⋅fsn\cdot f_{s}n⋅fs​为位移量的叠加。对于中心频率为fcf_{c}fc​的信号，我们需要利用第mmm次“折叠”将其搬回基带。避免混叠的条件：为了让fsf_{s}fs​的第mmm次谐波 (m⋅fsm\cdot f_{s}m⋅fs​) 将信号“搬”到基带而不重叠，我们需要满足两个边界条件：条件 A（避免与低频重叠）：采样率的一半（即奈奎斯特频率）的mmm倍必须“托住”信号的最高频率fHf_{H}fH​，使其搬移后不超过fs/2f_{s}/2fs​/2的右边界。m⋅fs2fH⇒fs2fHm m\cdot \frac{f_{s}}{2}f_{H}\Rightarrow f_{s}\frac{2f_{H}}{m}m⋅2