编号类型领域子领域测度论领域数学方程式逐步推理思考的数学表达式参数列表关联知识1概念数学实分析/测度论集合论基础A∪B{x:x∈A 或 x∈B}A∩B{x:x∈A 且 x∈B}Ac{x:x∈Ω,x∈/A}A∖BA∩Bc1.目标定义基本集合运算它们是构造复杂集合并讨论其性质的基础。2.思路基于逻辑“或”、“且”、“非”来定义集合的并、交、补。3.补集必须指定一个“全集”ΩAc是相对于Ω的补。4.差集A中去掉B中的元素等价于A与B的补集的交集。Ω全集/样本空间A,BΩ的子集x集合中的元素布尔代数、逻辑运算、集合代数2概念数学实分析/测度论集合论基础⋃n1∞An{x:∃n∈N,x∈An}⋂n1∞An{x:∀n∈N,x∈An}1.目标将并和交运算推广到可数多个集合。2.可数并存在性(∃)。元素x只要属于序列{An}中至少一个集合就属于其可数并。3.可数交全称性(∀)。元素x必须属于序列{An}中的每一个集合才属于其可数交。{An}n1∞一列集合可数无穷个N自然数集∃存在量词∀全称量词集合序列的极限、上极限、下极限3概念数学实分析/测度论集合论基础limsupn→∞An⋂n1∞⋃kn∞Akliminfn→∞An⋃n1∞⋂kn∞Ak1.目标定义集合序列的极限类比数列的上极限和下极限。2.上极限 limsupAn元素x属于无穷多个An。- 思考如何刻画“属于无穷多个”- 构造对每个起始下标n考虑从n开始的“尾巴”⋃kn∞Ak。如果x属于这个并意味着x在n之后至少出现一次。- 再取交集⋂n1∞(⋃kn∞Ak)。如果x属于这个交集意味着对每个起始nx都在n之后的某个集合中出现。这意味着x在序列中出现了无限多次。3.下极限 liminfAn元素x最终总是属于An即只不属于有限个An。- 思考如何刻画“最终总是属于”- 构造对每个起始下标n考虑从n开始的“尾巴”⋂kn∞Ak。如果x属于这个交意味着x在n之后总是出现。- 再取并集⋃n1∞(⋂kn∞Ak)。如果x属于这个并集意味着存在某个起始下标N使得x在N之后总是出现。这意味着x从某个点之后再也没有离开过序列。{An}n1∞一列集合数列的上下极限、Borel-Cantelli引理4概念数学实分析/测度论集合论基础limn→∞AnA⟺limsupn→∞Anliminfn→∞AnA1.目标定义集合序列收敛。2.思路类比实数的收敛当上下极限相等时序列收敛。3.推理若limsupAnliminfAnA则A中的元素恰是那些“最终总是属于An”的元素也是那些“属于无穷多个An但不属于无穷多个Anc”的元素。{An}n1∞一列集合A一个集合单调集合序列的极限5概念数学实分析/测度论集合论基础若A1⊂A2⊂A3⊂...则limn→∞An⋃n1∞An。若A1⊃A2⊃A3⊃...则limn→∞An⋂n1∞An。1.目标对单调集合序列给出极限的简单表达式。2.递增序列- 对递增序列⋃kn∞Ak⋃k1∞Ak对任意n成立。因此limsupAn⋂n⋃k≥nAk⋃kAk。- 同时⋂kn∞AkAn。因此liminfAn⋃nAn。- 由于序列递增⋃nAn⋃nAn。实际上极限就是所有集合的并。3.递减序列同理可证极限就是所有集合的交。{An}n1∞单调递增/递减的集合序列集合的连续性、测度的连续性6概念数学实分析/测度论集类A⊂2Ω 其中2Ω是Ω的幂集。1.目标形式化“一堆集合的集合”这个概念。2.思路全集Ω的所有子集构成一个巨大的集合2Ω。3.集类我们关心的往往是2Ω的某个子集AA本身是一个集合其元素是Ω的子集。我们称A为一个“集类”或“集合族”。Ω全集2ΩΩ的幂集即所有子集的集合A一个集类是2Ω的子集代数、σ-代数、拓扑7定义数学实分析/测度论集类-代数集类A⊂2Ω称为一个代数或域如果满足1. Ω∈A。2. 对差封闭若A,B∈A则A∖B∈A。3. 对有限并封闭若A1,...,An∈A则⋃i1nAi∈A。1.动机我们希望一个“好的”集类在有限次集合运算下是稳定的以便进行推理。2.条件1全集保证全集是可操作的。3.条件2差结合条件1可推出对补集封闭AcΩ∖A∈A。4.条件3有限并结合对补集封闭利用德摩根定律可推出对有限交也封闭A∩B(Ac∪Bc)c∈A。5.总结代数在有限次并、交、补、差运算下封闭。Ω全集A一个集类A,B,AiA中的集合σ-代数、布尔代数、环8定义数学实分析/测度论集类-σ代数集类F⊂2Ω称为一个σ-代数或σ-域如果满足1. Ω∈F。2. 对补封闭若A∈F则Ac∈F。3. 对可数并封闭若A1,A2,...∈F则⋃n1∞An∈F。1.动机为了处理极限和无穷过程如分析需要将代数对运算的封闭性加强到“可数无穷”次。2.与代数的区别将“有限并”升级为“可数并”。这是一个本质的加强。3.推论由条件2和3利用德摩根定律可推出对可数交也封闭⋂nAn(⋃nAnc)c∈F。4.关系每个σ-代数都是代数反之不然。Ω全集F一个集类{An}n1∞F中一列可数个集合可测空间、Borel σ-代数、测度9定义数学实分析/测度论可测空间二元组(Ω,F)称为一个可测空间其中Ω是一个集合F是Ω上的一个σ-代数。1.目标为定义“哪些集合可以被测量”搭建舞台。2.分解- Ω所有可能结果的集合样本空间。- FΩ中那些“可测量”的子集所构成的集合族。F中的集合称为F-可测集。3.意义在定义测度之前必须先指定一个可测空间(Ω,F)以明确测度的定义域。Ω样本空间/全集FΩ上的一个σ-代数测度空间、概率空间、拓扑空间10定义数学实分析/测度论集类-生成σ代数设E⊂2Ω是任意一个集类。定义σ(E)为包含E的最小σ-代数。即σ(E)⋂{F:F 是 Ω 上的 σ-代数且 E⊂F}。1.动机给定一个我们关心的集类E例如所有开区间我们希望在一个包含E的、尽可能小的σ-代数上工作。2.构造思路a) 包含E的σ-代数总是存在的例如2Ω。b) 任意多个σ-代数的交集仍然是σ-代数可以逐条验证定义。c) 因此所有包含E的σ-代数的交集本身就是一个σ-代数并且显然是最小的那个。我们称它为由E生成的σ-代数。Ω全集E任意一个集类F一个σ-代数Borel σ-代数、单调类定理11定义数学实分析/测度论集类-Borel σ代数设(X,τ)是一个拓扑空间例如Rn与通常拓扑。由所有开集族τ生成的σ-代数称为X上的Borel σ-代数记为B(X)。B(X)中的集合称为Borel集。1.动机在拓扑空间如欧氏空间上开集是最基本的“好”集合。我们希望在一个包含所有开集的、最小的σ-代数上定义测度如Lebesgue测度。2.生成元取生成元Eτ所有开集。3.元素B(X)包含所有开集、闭集、可数个开集的交Gδ集、可数个闭集的并Fσ集等等。它是一个非常丰富的集类几乎包含了分析中遇到的所有集合。X一个拓扑空间如Rn)τX上的拓扑所有开集的集合B(X)Borel σ-代数拓扑、可测函数、Lebesgue测度12定义数学实分析/测度论集类-单调类集类M⊂2Ω称为一个单调类如果满足1. 对单调递增集合并封闭若A1⊂A2⊂...∈M则⋃n1∞An∈M。2. 对单调递减集合交封闭若B1⊃B2⊃...∈M则⋂n1∞Bn∈M。1.动机单调类是σ-代数的“弱化”版本。它不要求对任意可数并/交封闭只要求对单调序列的极限封闭。2.与σ-代数的关系每个σ-代数都是单调类但反之不然。例如实数集上所有有界区间构成的集类是单调类但不是σ-代数对可数并不封闭。3.用途单调类定理是证明一个集类是σ-代数的重要工具。Ω全集M一个集类{An},{Bn}单调的集合序列单调类定理、λ-系、π-系13定理数学实分析/测度论集类-单调类定理设A是Ω上的一个代数M是一个包含A的单调类。则σ(A)⊂M。特别地包含代数A的最小单调类等于σ(A)。1.目标提供一种证明一个集类C是σ-代数的方法。2.策略a) 证明C是一个包含某个代数A的单调类。b) 根据定理立即有σ(A)⊂C。c) 如果我们还能证明C⊂σ(A)那么Cσ(A)从而C是σ-代数。3.价值验证单调性对单调序列极限封闭通常比验证任意可数并封闭要容易。Ω全集AΩ上的一个代数M包含A的一个单调类σ(A)由A生成的σ-代数测度的唯一性定理、函数测度的确定14定义数学实分析/测度论集类-π系与λ系π-系P对有限交封闭。即A,B∈P⇒A∩B∈P。λ-系或Dynkin系L1. Ω∈L。2. 对真差封闭A,B∈L且 A⊂B⇒B∖A∈L。3. 对单调递增集合并封闭。1.动机另一种将σ-代数分解为更简单结构的方法常用于概率论。2.π-系非常简单的结构只要求“交”运算。3.λ-系类似于单调类但条件有所不同。一个σ-代数既是π-系也是λ-系。4.关系如果一个集类既是π-系又是λ-系那么它是一个σ-代数。这是Dynkin π-λ定理的核心。Ω全集P一个π-系L一个λ-系Dynkin π-λ定理、独立性的证明15定理数学实分析/测度论集类-Dynkin定理若P是一个π-系L是一个包含P的λ-系则σ(P)⊂L。特别地若P是一个π-系则包含P的最小λ-系等于σ(P)。1.目标与单调类定理类似是证明集类相等的强大工具尤其在概率论中证明独立性相关命题时非常有效。2.使用思路要证明σ(P)中所有集合都有某种性质比如属于某个集类L只需a) 证明P中集合有该性质P⊂L。b) 证明具有该性质的集合构成一个λ-系L是λ-系。c) 由定理σ(P)⊂L即σ(P)中所有集合都具有该性质。P一个π-系L一个λ-系σ(P)由P生成的σ-代数测度的唯一性、随机变量的独立性16定义数学实分析/测度论可测空间-乘积σ代数设(Ω1,F1)和(Ω2,F2)是可测空间。乘积空间Ω1×Ω2上的乘积σ-代数F1⊗F2定义为F1⊗F2:σ({A1×A2:A1∈F1,A2∈F2})。1.动机在乘积空间上定义测度如乘积测度、联合分布需要一个自然的σ-代数。2.生成元取所有“可测矩形”A1×A2作为生成元。这是最自然的、最简单的可测集。3.定义乘积σ-代数就是由这些可测矩形生成的σ-代数。注意它通常不等于F1和F2的笛卡尔积的幂集甚至不等于{E1×E2:E1∈F1,E2∈F2}后者只是一个半环不是σ-代数。(Ωi,Fi)可测空间i1,2×笛卡尔积σ(⋅)生成σ-代数运算乘积测度、Fubini定理、截面定理17定义数学实分析/测度论函数-可测函数设(Ω,F)和(Ω‘,F’)是两个可测空间。一个函数f:Ω→Ω′称为(F,F’)-可测的或简称为可测函数如果对任意的B∈F’其原像f−1(B)都属于F即f−1(B):{ω∈Ω:f(ω)∈B}∈F,∀B∈F’。1.目标定义可测空间之间的、能与可测结构兼容的映射。2.核心思想可测性是通过原像保持可测集来定义的。这与拓扑中连续函数的定义原像保持开集完全类似。3.解释可测函数f的作用是当我们用F’中的“尺子”可测集在值域中测量时它在定义域中对应的“刻度”原像也必须是F中的“尺子”。这保证了定义域上的测度可以通过f“拉回”到值域上。(Ω,F)定义域可测空间(Ω′,F′)值域可测空间f:Ω→Ω′一个映射f−1(B)集合B在f下的原像连续函数、Borel可测函数、随机变量18定义数学实分析/测度论函数-Borel可测函数当值域可测空间是(R,B(R))时函数f:Ω→R称为F-可测的或Borel可测的如果f−1(B)∈F,∀B∈B(R)。1.动机这是测度论和概率论中最常见的可测函数类型因为值域是实数。2.简化判定由于B(R)由所有开区间生成可以证明f是Borel可测的当且仅当对任意实数a有{fa}:{ω:f(ω)a}∈F。3.推广类似可定义取值于Rn或扩展实数R[−∞,∞]的可测函数。(Ω,F)定义域可测空间B(R)实数集上的Borel σ-代数f:Ω→R实值函数可测函数的运算、简单函数、积分19定义数学实分析/测度论测度-外测度集合函数μ∗:2Ω→[0,∞]称为外测度如果满足1. μ∗(∅)0。2. 单调性A⊂B⇒μ∗(A)≤μ∗(B)。3. 次可数可加性对任意集合序列{An}n1∞有μ∗(⋃n1∞An)≤∑n1∞μ∗(An)。1.目标定义一个在所有子集上都有定义、具有“长度/面积/体积”某些基本性质的集合函数。2.问题外测度通常不满足可数可加性这是测度的核心只满足较弱的次可数可加性。3.构造外测度相对容易构造例如Lebesgue外测度用可数开覆盖的下确界定义。4.策略Carathéodory方法指出可以对外测度μ∗定义一类“可测集”Mμ∗使得μ∗限制在Mμ∗上是一个真正的测度。Ω全集μ∗外测度定义域为幂集2ΩA,B,AnΩ的任意子集Lebesgue外测度、Carathéodory条件、测度扩张20定义数学实分析/测度论测度-可测集(Caratheodory)设μ∗是Ω上的外测度。集合A⊂Ω称为μ∗-可测的如果它满足Carathéodory条件μ∗(E)μ∗(E∩A)μ∗(E∩Ac),∀E⊂Ω。1.动机从外测度中“筛选”出那些行为良好的集合使它们构成一个σ-代数并且μ∗在其上是可数可加的。2.条件解释条件要求集合A能以“可加”的方式分割任意测试集E的外测度。这保证了A和Ac对于外测度μ∗来说是“边界清晰”的。3.几何理解在Rn上想象A是一个形状不规则的集合。如果A是“可测的”那么用A的边界去切割任何一个集合EE被分成的两部分的“长度”外测度之和等于原来E的“长度”。μ∗一个外测度A待检验的集合E任意测试集AcA的补集测度、Lebesgue可测集、正则性21定理数学实分析/测度论测度-Caratheodory定理设μ∗是Ω上的外测度。记所有μ∗-可测集组成的集类为Mμ∗则1. Mμ∗是一个σ-代数。2. μ∗在Mμ∗上的限制记为μ是一个完备的测度。即(Ω,Mμ∗,μ)是一个完备的测度空间。1.目标提供从外测度构造测度空间的通用方法。2.证明思路a) 验证Mμ∗包含空集、对补集封闭。b) 验证Mμ∗对有限并不封闭进而利用Carathéodory条件证明对可数并不封闭这是最核心、最技术性的部分。c) 由于μ∗是外测度在Mμ∗上自动满足可数可加性由可测集定义和次可加性可推出。d) 完备性若μ∗(N)0则对任意Eμ∗(E)≤μ∗(E∩N)μ∗(E∩Nc)≤0μ∗(E)由夹逼知N满足Carathéodory条件且其任意子集也满足故测度是完备的。μ∗外测度Mμ∗所有μ∗-可测集的集合$\mu : \mu^*{\mathcal{M}{\mu^}}\mu^$在可测集上的限制22定义数学实分析/测度论测度-测度设(Ω,F)是可测空间。函数μ:F→[0,∞]称为一个测度如果满足1. μ(∅)0。2. 可数可加性对F中任意互不相交的集合序列{An}n1∞有μ(⋃n1∞An)∑n1∞μ(An)。1.目标正式定义“体积”或“大小”的数学概念。2.定义域测度μ只定义在σ-代数F上而不是所有子集上。3.可数可加性这是测度最核心的性质。它意味着测度是“连续的”如果我们将一个集合分割成可数无穷个互不相交的小块那么整体的“大小”等于所有小块“大小”之和。4.值域允许取∞以处理无界区域如整个实数轴的“长度”。(Ω,F)可测空间μ测度{An}n1∞F中一列两两不交的集合概率测度、计数测度、Lebesgue测度23定义数学实分析/测度论测度空间三元组(Ω,F,μ)称为一个测度空间其中(Ω,F)是可测空间μ是F上的测度。1.构成这是测度论研究的基本对象。2.完备性如果对任意N∈F若μ(N)0则N的任意子集也属于F从而测度为0则称该测度空间是完备的。3.例子- (R,B(R),m)其中m是Lebesgue测度不完备。- (R,L,m)其中L是Lebesgue可测集完备。这是由Carathéodory定理保证的。(Ω,F)可测空间μF上的测度可测空间、概率空间、积分24定义数学实分析/测度论测度-有限/σ有限设(Ω,F,μ)是测度空间。有限测度若μ(Ω)∞。概率测度若μ(Ω)1。σ有限测度若存在一列集合{En}⊂F使得Ω⋃nEn且对每个nμ(En)∞。1.动机对测度的大小进行分类许多定理如Fubini定理需要σ有限性条件。2.有限测度整个空间的测度有限。概率测度是一种特殊的有限测度。3.σ有限测度整个空间可以被可数个有限测度的集合覆盖。这是一个非常重要的、适中的条件。- 例子R上的Lebesgue测度是σ有限的但不是有限的取En(−n,n)。- 例子计数测度在可数集上是σ有限的在不可数集上不是σ有限的。(Ω,F,μ)测度空间{En}一列可测集积分、乘积测度、Radon-Nikodym定理25性质数学实分析/测度论测度的性质-单调性若A,B∈F且A⊂B则μ(A)≤μ(B)。1.推导由可数可加性可得。因为BA∪(B∖A)且A与B∖A不交。2.表达式μ(B)μ(A)μ(B∖A)≥μ(A)因为μ(B∖A)≥0。3.推论测度是非负的且若μ(A)∞则包含A的任何可测集测度也为∞。(Ω,F,μ)测度空间A,B可测集且A⊂B可数可加性、测度的减法有限时26性质数学实分析/测度论测度的性质-可减性若A,B∈FA⊂B且μ(A)∞则μ(B∖A)μ(B)−μ(A)。1.条件μ(A)∞是必要的否则会出现∞−∞未定义的情况。2.推导由BA∪(B∖A)和可数可加性有μ(B)μ(A)μ(B∖A)。3.移项因为μ(A)是有限数可以安全地移到等式另一边得到μ(B∖A)μ(B)−μ(A)。(Ω,F,μ)测度空间A,B可测集A⊂B且μ(A)∞测度的单调性、可数可加性27定理数学实分析/测度论测度的性质-连续性设(Ω,F,μ)是测度空间。1.下连续性若{An}递增An↑A则μ(An)↑μ(A)。2.上连续性若{An}递减An↓A且μ(A1)∞则μ(An)↓μ(A)。1.目标描述测度对单调集合序列极限的操作。2.证明下连续- 令B1A1 BnAn∖An−1for n≥2。则{Bn}互不相交且A⋃nAn⋃nBn。- 由可数可加性μ(A)∑k1∞μ(Bk)limn→∞∑k1nμ(Bk)limn→∞μ(⋃k1nBk)limn→∞μ(An)。3.证明上连续- 令CnA1∖An则{Cn}递增且⋃nCnA1∖A。- 由下连续性μ(Cn)↑μ(A1∖A)。- 由可减性注意μ(A1)∞μ(A1)−μ(An)↑μ(A1)−μ(A)。- 整理得μ(An)↓μ(A)。4.条件上连续性需要μ(A1)∞或至少某个AN测度有限来使用可减性。(Ω,F,μ)测度空间{An}n1∞⊂F单调递增/递减的集合序列A集合序列的极限单调集合序列的极限、可数可加性28定理数学实分析/测度论测度的性质-可数次可加性对F中任意集合序列{An}n1∞不一定不交有μ(⋃n1∞An)≤∑n1∞μ(An)。1.推导通过构造一个不相交的序列{Bn}其中B1A1 BnAn∖(⋃k1n−1Ak)。则⋃nBn⋃nAn且Bn⊂An。2.步骤μ(⋃nAn)μ(⋃nBn)∑nμ(Bn)可数可加性≤∑nμ(An)单调性因为Bn⊂An。3.注意这是测度的性质而不是定义的一部分外测度的次可加性是定义。(Ω,F,μ)测度空间{An}n1∞⊂F任意一列可测集可数可加性、测度的单调性、Boole不等式29定义数学实分析/测度论测度-完备性测度空间(Ω,F,μ)称为完备的如果∀N∈F with μ(N)0,∀S⊂N, we have S∈F从而μ(S)0。1.目标定义“零测集的任意子集仍可测且测度为零”的性质。2.动机在分析中我们常常希望忽略零测集。如果零测集的子集不可测会带来许多麻烦。3.构造完备化任何测度空间都可以被完备化。令N{S⊂Ω:∃N∈F with μ(N)0 and S⊂N}。定义扩充的σ-代数F{E∪Z:E∈F,Z∈N}并在其上定义μ(E∪Z)μ(E)则(Ω,F,μ)是原空间的完备化。(Ω,F,μ)测度空间N一个零测集SN的任意子集零测集、几乎处处、Carathéodory定理30例子数学实分析/测度论测度-计数测度设(Ω,F)为可测空间其中F2Ω离散σ-代数。定义计数测度#为$#(A) \begin{cases}A, \text{若 } A \text{ 是有限集} \\infty, \text{若 } A \text{ 是无限集} \end{cases}br其中A
【信息科学与工程学】【数据科学】 数学基础38 测度论
编号类型领域子领域测度论领域数学方程式逐步推理思考的数学表达式参数列表关联知识1概念数学实分析/测度论集合论基础A∪B{x:x∈A 或 x∈B}A∩B{x:x∈A 且 x∈B}Ac{x:x∈Ω,x∈/A}A∖BA∩Bc1.目标定义基本集合运算它们是构造复杂集合并讨论其性质的基础。2.思路基于逻辑“或”、“且”、“非”来定义集合的并、交、补。3.补集必须指定一个“全集”ΩAc是相对于Ω的补。4.差集A中去掉B中的元素等价于A与B的补集的交集。Ω全集/样本空间A,BΩ的子集x集合中的元素布尔代数、逻辑运算、集合代数2概念数学实分析/测度论集合论基础⋃n1∞An{x:∃n∈N,x∈An}⋂n1∞An{x:∀n∈N,x∈An}1.目标将并和交运算推广到可数多个集合。2.可数并存在性(∃)。元素x只要属于序列{An}中至少一个集合就属于其可数并。3.可数交全称性(∀)。元素x必须属于序列{An}中的每一个集合才属于其可数交。{An}n1∞一列集合可数无穷个N自然数集∃存在量词∀全称量词集合序列的极限、上极限、下极限3概念数学实分析/测度论集合论基础limsupn→∞An⋂n1∞⋃kn∞Akliminfn→∞An⋃n1∞⋂kn∞Ak1.目标定义集合序列的极限类比数列的上极限和下极限。2.上极限 limsupAn元素x属于无穷多个An。- 思考如何刻画“属于无穷多个”- 构造对每个起始下标n考虑从n开始的“尾巴”⋃kn∞Ak。如果x属于这个并意味着x在n之后至少出现一次。- 再取交集⋂n1∞(⋃kn∞Ak)。如果x属于这个交集意味着对每个起始nx都在n之后的某个集合中出现。这意味着x在序列中出现了无限多次。3.下极限 liminfAn元素x最终总是属于An即只不属于有限个An。- 思考如何刻画“最终总是属于”- 构造对每个起始下标n考虑从n开始的“尾巴”⋂kn∞Ak。如果x属于这个交意味着x在n之后总是出现。- 再取并集⋃n1∞(⋂kn∞Ak)。如果x属于这个并集意味着存在某个起始下标N使得x在N之后总是出现。这意味着x从某个点之后再也没有离开过序列。{An}n1∞一列集合数列的上下极限、Borel-Cantelli引理4概念数学实分析/测度论集合论基础limn→∞AnA⟺limsupn→∞Anliminfn→∞AnA1.目标定义集合序列收敛。2.思路类比实数的收敛当上下极限相等时序列收敛。3.推理若limsupAnliminfAnA则A中的元素恰是那些“最终总是属于An”的元素也是那些“属于无穷多个An但不属于无穷多个Anc”的元素。{An}n1∞一列集合A一个集合单调集合序列的极限5概念数学实分析/测度论集合论基础若A1⊂A2⊂A3⊂...则limn→∞An⋃n1∞An。若A1⊃A2⊃A3⊃...则limn→∞An⋂n1∞An。1.目标对单调集合序列给出极限的简单表达式。2.递增序列- 对递增序列⋃kn∞Ak⋃k1∞Ak对任意n成立。因此limsupAn⋂n⋃k≥nAk⋃kAk。- 同时⋂kn∞AkAn。因此liminfAn⋃nAn。- 由于序列递增⋃nAn⋃nAn。实际上极限就是所有集合的并。3.递减序列同理可证极限就是所有集合的交。{An}n1∞单调递增/递减的集合序列集合的连续性、测度的连续性6概念数学实分析/测度论集类A⊂2Ω 其中2Ω是Ω的幂集。1.目标形式化“一堆集合的集合”这个概念。2.思路全集Ω的所有子集构成一个巨大的集合2Ω。3.集类我们关心的往往是2Ω的某个子集AA本身是一个集合其元素是Ω的子集。我们称A为一个“集类”或“集合族”。Ω全集2ΩΩ的幂集即所有子集的集合A一个集类是2Ω的子集代数、σ-代数、拓扑7定义数学实分析/测度论集类-代数集类A⊂2Ω称为一个代数或域如果满足1. Ω∈A。2. 对差封闭若A,B∈A则A∖B∈A。3. 对有限并封闭若A1,...,An∈A则⋃i1nAi∈A。1.动机我们希望一个“好的”集类在有限次集合运算下是稳定的以便进行推理。2.条件1全集保证全集是可操作的。3.条件2差结合条件1可推出对补集封闭AcΩ∖A∈A。4.条件3有限并结合对补集封闭利用德摩根定律可推出对有限交也封闭A∩B(Ac∪Bc)c∈A。5.总结代数在有限次并、交、补、差运算下封闭。Ω全集A一个集类A,B,AiA中的集合σ-代数、布尔代数、环8定义数学实分析/测度论集类-σ代数集类F⊂2Ω称为一个σ-代数或σ-域如果满足1. Ω∈F。2. 对补封闭若A∈F则Ac∈F。3. 对可数并封闭若A1,A2,...∈F则⋃n1∞An∈F。1.动机为了处理极限和无穷过程如分析需要将代数对运算的封闭性加强到“可数无穷”次。2.与代数的区别将“有限并”升级为“可数并”。这是一个本质的加强。3.推论由条件2和3利用德摩根定律可推出对可数交也封闭⋂nAn(⋃nAnc)c∈F。4.关系每个σ-代数都是代数反之不然。Ω全集F一个集类{An}n1∞F中一列可数个集合可测空间、Borel σ-代数、测度9定义数学实分析/测度论可测空间二元组(Ω,F)称为一个可测空间其中Ω是一个集合F是Ω上的一个σ-代数。1.目标为定义“哪些集合可以被测量”搭建舞台。2.分解- Ω所有可能结果的集合样本空间。- FΩ中那些“可测量”的子集所构成的集合族。F中的集合称为F-可测集。3.意义在定义测度之前必须先指定一个可测空间(Ω,F)以明确测度的定义域。Ω样本空间/全集FΩ上的一个σ-代数测度空间、概率空间、拓扑空间10定义数学实分析/测度论集类-生成σ代数设E⊂2Ω是任意一个集类。定义σ(E)为包含E的最小σ-代数。即σ(E)⋂{F:F 是 Ω 上的 σ-代数且 E⊂F}。1.动机给定一个我们关心的集类E例如所有开区间我们希望在一个包含E的、尽可能小的σ-代数上工作。2.构造思路a) 包含E的σ-代数总是存在的例如2Ω。b) 任意多个σ-代数的交集仍然是σ-代数可以逐条验证定义。c) 因此所有包含E的σ-代数的交集本身就是一个σ-代数并且显然是最小的那个。我们称它为由E生成的σ-代数。Ω全集E任意一个集类F一个σ-代数Borel σ-代数、单调类定理11定义数学实分析/测度论集类-Borel σ代数设(X,τ)是一个拓扑空间例如Rn与通常拓扑。由所有开集族τ生成的σ-代数称为X上的Borel σ-代数记为B(X)。B(X)中的集合称为Borel集。1.动机在拓扑空间如欧氏空间上开集是最基本的“好”集合。我们希望在一个包含所有开集的、最小的σ-代数上定义测度如Lebesgue测度。2.生成元取生成元Eτ所有开集。3.元素B(X)包含所有开集、闭集、可数个开集的交Gδ集、可数个闭集的并Fσ集等等。它是一个非常丰富的集类几乎包含了分析中遇到的所有集合。X一个拓扑空间如Rn)τX上的拓扑所有开集的集合B(X)Borel σ-代数拓扑、可测函数、Lebesgue测度12定义数学实分析/测度论集类-单调类集类M⊂2Ω称为一个单调类如果满足1. 对单调递增集合并封闭若A1⊂A2⊂...∈M则⋃n1∞An∈M。2. 对单调递减集合交封闭若B1⊃B2⊃...∈M则⋂n1∞Bn∈M。1.动机单调类是σ-代数的“弱化”版本。它不要求对任意可数并/交封闭只要求对单调序列的极限封闭。2.与σ-代数的关系每个σ-代数都是单调类但反之不然。例如实数集上所有有界区间构成的集类是单调类但不是σ-代数对可数并不封闭。3.用途单调类定理是证明一个集类是σ-代数的重要工具。Ω全集M一个集类{An},{Bn}单调的集合序列单调类定理、λ-系、π-系13定理数学实分析/测度论集类-单调类定理设A是Ω上的一个代数M是一个包含A的单调类。则σ(A)⊂M。特别地包含代数A的最小单调类等于σ(A)。1.目标提供一种证明一个集类C是σ-代数的方法。2.策略a) 证明C是一个包含某个代数A的单调类。b) 根据定理立即有σ(A)⊂C。c) 如果我们还能证明C⊂σ(A)那么Cσ(A)从而C是σ-代数。3.价值验证单调性对单调序列极限封闭通常比验证任意可数并封闭要容易。Ω全集AΩ上的一个代数M包含A的一个单调类σ(A)由A生成的σ-代数测度的唯一性定理、函数测度的确定14定义数学实分析/测度论集类-π系与λ系π-系P对有限交封闭。即A,B∈P⇒A∩B∈P。λ-系或Dynkin系L1. Ω∈L。2. 对真差封闭A,B∈L且 A⊂B⇒B∖A∈L。3. 对单调递增集合并封闭。1.动机另一种将σ-代数分解为更简单结构的方法常用于概率论。2.π-系非常简单的结构只要求“交”运算。3.λ-系类似于单调类但条件有所不同。一个σ-代数既是π-系也是λ-系。4.关系如果一个集类既是π-系又是λ-系那么它是一个σ-代数。这是Dynkin π-λ定理的核心。Ω全集P一个π-系L一个λ-系Dynkin π-λ定理、独立性的证明15定理数学实分析/测度论集类-Dynkin定理若P是一个π-系L是一个包含P的λ-系则σ(P)⊂L。特别地若P是一个π-系则包含P的最小λ-系等于σ(P)。1.目标与单调类定理类似是证明集类相等的强大工具尤其在概率论中证明独立性相关命题时非常有效。2.使用思路要证明σ(P)中所有集合都有某种性质比如属于某个集类L只需a) 证明P中集合有该性质P⊂L。b) 证明具有该性质的集合构成一个λ-系L是λ-系。c) 由定理σ(P)⊂L即σ(P)中所有集合都具有该性质。P一个π-系L一个λ-系σ(P)由P生成的σ-代数测度的唯一性、随机变量的独立性16定义数学实分析/测度论可测空间-乘积σ代数设(Ω1,F1)和(Ω2,F2)是可测空间。乘积空间Ω1×Ω2上的乘积σ-代数F1⊗F2定义为F1⊗F2:σ({A1×A2:A1∈F1,A2∈F2})。1.动机在乘积空间上定义测度如乘积测度、联合分布需要一个自然的σ-代数。2.生成元取所有“可测矩形”A1×A2作为生成元。这是最自然的、最简单的可测集。3.定义乘积σ-代数就是由这些可测矩形生成的σ-代数。注意它通常不等于F1和F2的笛卡尔积的幂集甚至不等于{E1×E2:E1∈F1,E2∈F2}后者只是一个半环不是σ-代数。(Ωi,Fi)可测空间i1,2×笛卡尔积σ(⋅)生成σ-代数运算乘积测度、Fubini定理、截面定理17定义数学实分析/测度论函数-可测函数设(Ω,F)和(Ω‘,F’)是两个可测空间。一个函数f:Ω→Ω′称为(F,F’)-可测的或简称为可测函数如果对任意的B∈F’其原像f−1(B)都属于F即f−1(B):{ω∈Ω:f(ω)∈B}∈F,∀B∈F’。1.目标定义可测空间之间的、能与可测结构兼容的映射。2.核心思想可测性是通过原像保持可测集来定义的。这与拓扑中连续函数的定义原像保持开集完全类似。3.解释可测函数f的作用是当我们用F’中的“尺子”可测集在值域中测量时它在定义域中对应的“刻度”原像也必须是F中的“尺子”。这保证了定义域上的测度可以通过f“拉回”到值域上。(Ω,F)定义域可测空间(Ω′,F′)值域可测空间f:Ω→Ω′一个映射f−1(B)集合B在f下的原像连续函数、Borel可测函数、随机变量18定义数学实分析/测度论函数-Borel可测函数当值域可测空间是(R,B(R))时函数f:Ω→R称为F-可测的或Borel可测的如果f−1(B)∈F,∀B∈B(R)。1.动机这是测度论和概率论中最常见的可测函数类型因为值域是实数。2.简化判定由于B(R)由所有开区间生成可以证明f是Borel可测的当且仅当对任意实数a有{fa}:{ω:f(ω)a}∈F。3.推广类似可定义取值于Rn或扩展实数R[−∞,∞]的可测函数。(Ω,F)定义域可测空间B(R)实数集上的Borel σ-代数f:Ω→R实值函数可测函数的运算、简单函数、积分19定义数学实分析/测度论测度-外测度集合函数μ∗:2Ω→[0,∞]称为外测度如果满足1. μ∗(∅)0。2. 单调性A⊂B⇒μ∗(A)≤μ∗(B)。3. 次可数可加性对任意集合序列{An}n1∞有μ∗(⋃n1∞An)≤∑n1∞μ∗(An)。1.目标定义一个在所有子集上都有定义、具有“长度/面积/体积”某些基本性质的集合函数。2.问题外测度通常不满足可数可加性这是测度的核心只满足较弱的次可数可加性。3.构造外测度相对容易构造例如Lebesgue外测度用可数开覆盖的下确界定义。4.策略Carathéodory方法指出可以对外测度μ∗定义一类“可测集”Mμ∗使得μ∗限制在Mμ∗上是一个真正的测度。Ω全集μ∗外测度定义域为幂集2ΩA,B,AnΩ的任意子集Lebesgue外测度、Carathéodory条件、测度扩张20定义数学实分析/测度论测度-可测集(Caratheodory)设μ∗是Ω上的外测度。集合A⊂Ω称为μ∗-可测的如果它满足Carathéodory条件μ∗(E)μ∗(E∩A)μ∗(E∩Ac),∀E⊂Ω。1.动机从外测度中“筛选”出那些行为良好的集合使它们构成一个σ-代数并且μ∗在其上是可数可加的。2.条件解释条件要求集合A能以“可加”的方式分割任意测试集E的外测度。这保证了A和Ac对于外测度μ∗来说是“边界清晰”的。3.几何理解在Rn上想象A是一个形状不规则的集合。如果A是“可测的”那么用A的边界去切割任何一个集合EE被分成的两部分的“长度”外测度之和等于原来E的“长度”。μ∗一个外测度A待检验的集合E任意测试集AcA的补集测度、Lebesgue可测集、正则性21定理数学实分析/测度论测度-Caratheodory定理设μ∗是Ω上的外测度。记所有μ∗-可测集组成的集类为Mμ∗则1. Mμ∗是一个σ-代数。2. μ∗在Mμ∗上的限制记为μ是一个完备的测度。即(Ω,Mμ∗,μ)是一个完备的测度空间。1.目标提供从外测度构造测度空间的通用方法。2.证明思路a) 验证Mμ∗包含空集、对补集封闭。b) 验证Mμ∗对有限并不封闭进而利用Carathéodory条件证明对可数并不封闭这是最核心、最技术性的部分。c) 由于μ∗是外测度在Mμ∗上自动满足可数可加性由可测集定义和次可加性可推出。d) 完备性若μ∗(N)0则对任意Eμ∗(E)≤μ∗(E∩N)μ∗(E∩Nc)≤0μ∗(E)由夹逼知N满足Carathéodory条件且其任意子集也满足故测度是完备的。μ∗外测度Mμ∗所有μ∗-可测集的集合$\mu : \mu^*{\mathcal{M}{\mu^}}\mu^$在可测集上的限制22定义数学实分析/测度论测度-测度设(Ω,F)是可测空间。函数μ:F→[0,∞]称为一个测度如果满足1. μ(∅)0。2. 可数可加性对F中任意互不相交的集合序列{An}n1∞有μ(⋃n1∞An)∑n1∞μ(An)。1.目标正式定义“体积”或“大小”的数学概念。2.定义域测度μ只定义在σ-代数F上而不是所有子集上。3.可数可加性这是测度最核心的性质。它意味着测度是“连续的”如果我们将一个集合分割成可数无穷个互不相交的小块那么整体的“大小”等于所有小块“大小”之和。4.值域允许取∞以处理无界区域如整个实数轴的“长度”。(Ω,F)可测空间μ测度{An}n1∞F中一列两两不交的集合概率测度、计数测度、Lebesgue测度23定义数学实分析/测度论测度空间三元组(Ω,F,μ)称为一个测度空间其中(Ω,F)是可测空间μ是F上的测度。1.构成这是测度论研究的基本对象。2.完备性如果对任意N∈F若μ(N)0则N的任意子集也属于F从而测度为0则称该测度空间是完备的。3.例子- (R,B(R),m)其中m是Lebesgue测度不完备。- (R,L,m)其中L是Lebesgue可测集完备。这是由Carathéodory定理保证的。(Ω,F)可测空间μF上的测度可测空间、概率空间、积分24定义数学实分析/测度论测度-有限/σ有限设(Ω,F,μ)是测度空间。有限测度若μ(Ω)∞。概率测度若μ(Ω)1。σ有限测度若存在一列集合{En}⊂F使得Ω⋃nEn且对每个nμ(En)∞。1.动机对测度的大小进行分类许多定理如Fubini定理需要σ有限性条件。2.有限测度整个空间的测度有限。概率测度是一种特殊的有限测度。3.σ有限测度整个空间可以被可数个有限测度的集合覆盖。这是一个非常重要的、适中的条件。- 例子R上的Lebesgue测度是σ有限的但不是有限的取En(−n,n)。- 例子计数测度在可数集上是σ有限的在不可数集上不是σ有限的。(Ω,F,μ)测度空间{En}一列可测集积分、乘积测度、Radon-Nikodym定理25性质数学实分析/测度论测度的性质-单调性若A,B∈F且A⊂B则μ(A)≤μ(B)。1.推导由可数可加性可得。因为BA∪(B∖A)且A与B∖A不交。2.表达式μ(B)μ(A)μ(B∖A)≥μ(A)因为μ(B∖A)≥0。3.推论测度是非负的且若μ(A)∞则包含A的任何可测集测度也为∞。(Ω,F,μ)测度空间A,B可测集且A⊂B可数可加性、测度的减法有限时26性质数学实分析/测度论测度的性质-可减性若A,B∈FA⊂B且μ(A)∞则μ(B∖A)μ(B)−μ(A)。1.条件μ(A)∞是必要的否则会出现∞−∞未定义的情况。2.推导由BA∪(B∖A)和可数可加性有μ(B)μ(A)μ(B∖A)。3.移项因为μ(A)是有限数可以安全地移到等式另一边得到μ(B∖A)μ(B)−μ(A)。(Ω,F,μ)测度空间A,B可测集A⊂B且μ(A)∞测度的单调性、可数可加性27定理数学实分析/测度论测度的性质-连续性设(Ω,F,μ)是测度空间。1.下连续性若{An}递增An↑A则μ(An)↑μ(A)。2.上连续性若{An}递减An↓A且μ(A1)∞则μ(An)↓μ(A)。1.目标描述测度对单调集合序列极限的操作。2.证明下连续- 令B1A1 BnAn∖An−1for n≥2。则{Bn}互不相交且A⋃nAn⋃nBn。- 由可数可加性μ(A)∑k1∞μ(Bk)limn→∞∑k1nμ(Bk)limn→∞μ(⋃k1nBk)limn→∞μ(An)。3.证明上连续- 令CnA1∖An则{Cn}递增且⋃nCnA1∖A。- 由下连续性μ(Cn)↑μ(A1∖A)。- 由可减性注意μ(A1)∞μ(A1)−μ(An)↑μ(A1)−μ(A)。- 整理得μ(An)↓μ(A)。4.条件上连续性需要μ(A1)∞或至少某个AN测度有限来使用可减性。(Ω,F,μ)测度空间{An}n1∞⊂F单调递增/递减的集合序列A集合序列的极限单调集合序列的极限、可数可加性28定理数学实分析/测度论测度的性质-可数次可加性对F中任意集合序列{An}n1∞不一定不交有μ(⋃n1∞An)≤∑n1∞μ(An)。1.推导通过构造一个不相交的序列{Bn}其中B1A1 BnAn∖(⋃k1n−1Ak)。则⋃nBn⋃nAn且Bn⊂An。2.步骤μ(⋃nAn)μ(⋃nBn)∑nμ(Bn)可数可加性≤∑nμ(An)单调性因为Bn⊂An。3.注意这是测度的性质而不是定义的一部分外测度的次可加性是定义。(Ω,F,μ)测度空间{An}n1∞⊂F任意一列可测集可数可加性、测度的单调性、Boole不等式29定义数学实分析/测度论测度-完备性测度空间(Ω,F,μ)称为完备的如果∀N∈F with μ(N)0,∀S⊂N, we have S∈F从而μ(S)0。1.目标定义“零测集的任意子集仍可测且测度为零”的性质。2.动机在分析中我们常常希望忽略零测集。如果零测集的子集不可测会带来许多麻烦。3.构造完备化任何测度空间都可以被完备化。令N{S⊂Ω:∃N∈F with μ(N)0 and S⊂N}。定义扩充的σ-代数F{E∪Z:E∈F,Z∈N}并在其上定义μ(E∪Z)μ(E)则(Ω,F,μ)是原空间的完备化。(Ω,F,μ)测度空间N一个零测集SN的任意子集零测集、几乎处处、Carathéodory定理30例子数学实分析/测度论测度-计数测度设(Ω,F)为可测空间其中F2Ω离散σ-代数。定义计数测度#为$#(A) \begin{cases}A, \text{若 } A \text{ 是有限集} \\infty, \text{若 } A \text{ 是无限集} \end{cases}br其中A
