求解PDE数值算法有限差分理论推导有限差分求解纳维斯托克斯方程navier stokes equation solverPINNpinnDeeponetFNOfourier neural operator基于物理方程的深度神经网络基于pytorch框架最近在搞流体模拟发现传统数值方法和神经网络结合的新玩法挺有意思。今天就拿Navier-Stokes方程开刀聊聊怎么用PyTorch既实现传统有限差分又搞点机器学习黑科技。先上硬菜——有限差分法。咱先看二维不可压缩NS方程def momentum_eq(u, v, p, nu, dx, dy): # 对流项用中心差分 conv_u u[1:-1,1:-1] * (u[2:,1:-1] - u[:-2,1:-1])/(2*dx) v[1:-1,1:-1] * (u[1:-1,2:] - u[1:-1,:-2])/(2*dy) # 扩散项用二阶差分 diff_u nu * ((u[2:,1:-1] - 2*u[1:-1,1:-1] u[:-2,1:-1])/dx**2 (u[1:-1,2:] - 2*u[1:-1,1:-1] u[1:-1,:-2])/dy**2) return conv_u diff_u这段代码实现了动量方程的空间离散注意边界处理留了1个格子的空隙。实际计算时需要配合压力泊松方程迭代这里为了展示只保留核心逻辑。求解PDE数值算法有限差分理论推导有限差分求解纳维斯托克斯方程navier stokes equation solverPINNpinnDeeponetFNOfourier neural operator基于物理方程的深度神经网络基于pytorch框架不过传统方法有个痛点复杂几何边界处理起来要命。这时候物理驱动神经网络(PINN)就派上用场了。看这个PyTorch实现class NS_PINN(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.net nn.Sequential( nn.Linear(3, 32), nn.Tanh(), nn.Linear(32, 32), nn.Tanh(), nn.Linear(32, 3)) # 输出u,v,p def forward(self, x, y, t): inputs torch.cat([x, y, t], dim1) return self.net(inputs) def loss_fn(self, inputs): x, y, t inputs u, v, p self(x, y, t) # 自动微分计算梯度 u_t grad(u, t, grad_outputstorch.ones_like(u))[0] # 类似方法计算各阶导数... # NS方程残差 residual u_t u*u_x v*u_y p_x - nu*(u_xx u_yy) return torch.mean(residual**2)这个网络直接把坐标和时间作为输入输出流场物理量。损失函数里硬怼NS方程本身不用准备训练数据这点很香。但实测发现训练效率是个坑迭代5000步可能才收敛。说到高效算子学习Fourier Neural Operator (FNO)最近风头正劲。来看个二维版的实现片段class FNO2d(nn.Module): def __init__(self, modes16): super().__init__() self.fc nn.Linear(3, 64) # 输入t,x,y self.fourier SpectralConv2d(64, 64, modes) self.conv nn.Conv2d(64, 64, 1) self.out nn.Linear(64, 3) def forward(self, x): x self.fc(x) x x.permute(0,3,1,2) # 转成BCWH格式 x_ft self.fourier(x) x self.conv(x) x x x_ft # 残差连接 return self.out(x.permute(0,2,3,1))这个架构在傅里叶空间进行参数化能捕捉长程依赖。实测在周期性边界条件的问题上训练速度比PINN快一个量级。不过处理复杂边界还是得配合传统方法做预处理。最后说点个人体会有限差分适合快速验证简单问题PINN在逆问题中表现亮眼FNO则像开了挂的正问题求解器。实际工程中可以先用有限差分生成数据再用FNO做代理模型这种组合拳效果拔群。代码仓库里准备了个混合求解器示例欢迎来GitHub拍砖。
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求解PDE数值算法有限差分理论推导有限差分求解纳维斯托克斯方程navier stokes equation solverPINNpinnDeeponetFNOfourier neural operator基于物理方程的深度神经网络基于pytorch框架最近在搞流体模拟发现传统数值方法和神经网络结合的新玩法挺有意思。今天就拿Navier-Stokes方程开刀聊聊怎么用PyTorch既实现传统有限差分又搞点机器学习黑科技。先上硬菜——有限差分法。咱先看二维不可压缩NS方程def momentum_eq(u, v, p, nu, dx, dy): # 对流项用中心差分 conv_u u[1:-1,1:-1] * (u[2:,1:-1] - u[:-2,1:-1])/(2*dx) v[1:-1,1:-1] * (u[1:-1,2:] - u[1:-1,:-2])/(2*dy) # 扩散项用二阶差分 diff_u nu * ((u[2:,1:-1] - 2*u[1:-1,1:-1] u[:-2,1:-1])/dx**2 (u[1:-1,2:] - 2*u[1:-1,1:-1] u[1:-1,:-2])/dy**2) return conv_u diff_u这段代码实现了动量方程的空间离散注意边界处理留了1个格子的空隙。实际计算时需要配合压力泊松方程迭代这里为了展示只保留核心逻辑。求解PDE数值算法有限差分理论推导有限差分求解纳维斯托克斯方程navier stokes equation solverPINNpinnDeeponetFNOfourier neural operator基于物理方程的深度神经网络基于pytorch框架不过传统方法有个痛点复杂几何边界处理起来要命。这时候物理驱动神经网络(PINN)就派上用场了。看这个PyTorch实现class NS_PINN(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.net nn.Sequential( nn.Linear(3, 32), nn.Tanh(), nn.Linear(32, 32), nn.Tanh(), nn.Linear(32, 3)) # 输出u,v,p def forward(self, x, y, t): inputs torch.cat([x, y, t], dim1) return self.net(inputs) def loss_fn(self, inputs): x, y, t inputs u, v, p self(x, y, t) # 自动微分计算梯度 u_t grad(u, t, grad_outputstorch.ones_like(u))[0] # 类似方法计算各阶导数... # NS方程残差 residual u_t u*u_x v*u_y p_x - nu*(u_xx u_yy) return torch.mean(residual**2)这个网络直接把坐标和时间作为输入输出流场物理量。损失函数里硬怼NS方程本身不用准备训练数据这点很香。但实测发现训练效率是个坑迭代5000步可能才收敛。说到高效算子学习Fourier Neural Operator (FNO)最近风头正劲。来看个二维版的实现片段class FNO2d(nn.Module): def __init__(self, modes16): super().__init__() self.fc nn.Linear(3, 64) # 输入t,x,y self.fourier SpectralConv2d(64, 64, modes) self.conv nn.Conv2d(64, 64, 1) self.out nn.Linear(64, 3) def forward(self, x): x self.fc(x) x x.permute(0,3,1,2) # 转成BCWH格式 x_ft self.fourier(x) x self.conv(x) x x x_ft # 残差连接 return self.out(x.permute(0,2,3,1))这个架构在傅里叶空间进行参数化能捕捉长程依赖。实测在周期性边界条件的问题上训练速度比PINN快一个量级。不过处理复杂边界还是得配合传统方法做预处理。最后说点个人体会有限差分适合快速验证简单问题PINN在逆问题中表现亮眼FNO则像开了挂的正问题求解器。实际工程中可以先用有限差分生成数据再用FNO做代理模型这种组合拳效果拔群。代码仓库里准备了个混合求解器示例欢迎来GitHub拍砖。
